复函数的定义（复函数和实函数的区别）

复函数是指定义域和值域都在复数集合上的函数。复函数可以表示为$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，其中$z=x+iy$表示复数，$u(x, y)$和$v(x, y)$是实部和虚部函数。与之相对，实函数是定义域和值域都在实数集合上的函数。

区别如下：

1. 定义域和值域：复函数的定义域和值域是复数集合，而实函数的定义域和值域是实数集合。

2. 分解形式：复函数可以通过实部和虚部函数来表示，即$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，其中$u(x, y)$和$v(x, y)$均为实函数；而实函数只有一个函数表达式，不涉及复数的实部和虚部。

3. 复平面：复函数可以用于复平面上的几何表示，将复数$z=x+iy$映射到平面上的点$(x, y)$；实函数没有类似的几何表示方式。

4. 解析性：复函数有复可微性的概念，即可以定义它们的导数，具备解析性；而实函数没有复可微性的概念。

5. 应用领域：复函数在许多科学和工程领域中具有广泛的应用，如电路分析、信号处理、量子力学等；而实函数更多地应用于物理、化学、经济等领域。

需要注意的是，实函数可以看作是复函数的一种特殊情况，即虚部函数恒为零，即$f(x) = u(x, 0)$，在实数集合上取值。因此，复函数是实函数的扩展，可以涵盖和描述实数函数无法表达的更加复杂的数学和物理现象。